Toán hữu hạn Ví dụ

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$

Bước 1

Đặt $x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$ bằng với $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4 = 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$- 3 x^{3} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Bước 2.1.2

Đưa $- 3 x$ ra ngoài $- 3 x^{3} + 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $- 3 x$ ra ngoài $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Bước 2.1.2.2

Đưa $- 3 x$ ra ngoài $3 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 1 + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Bước 2.1.2.3

Đưa $- 3 x$ ra ngoài $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 1)$ .

$- 3 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Bước 2.1.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Bước 2.1.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$- 3 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Bước 2.1.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Bước 2.1.5

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Bước 2.1.6

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Bước 2.1.7

Phân tích $u^{2} - 5 u + 4$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.7.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $4$ và tổng của chúng là $- 5$ .

$- 4, - 1$

Bước 2.1.7.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (u - 4) (u - 1) = 0$

Bước 2.1.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 0$

Bước 2.1.9

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

Bước 2.1.10

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1) = 0$

Bước 2.1.11

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Bước 2.1.12

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.12.1

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Bước 2.1.12.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Bước 2.1.13

Đưa $(x + 1) (x - 1)$ ra ngoài $- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.13.1

Đưa $(x + 1) (x - 1)$ ra ngoài $- 3 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Bước 2.1.13.2

Đưa $(x + 1) (x - 1)$ ra ngoài $(x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Bước 2.1.13.3

Đưa $(x + 1) (x - 1)$ ra ngoài $(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Bước 2.1.14

Khai triển $(x + 2) (x - 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Bước 2.1.14.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Bước 2.1.14.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Bước 2.1.15

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.15.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x \cdot - 2$ và $2 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Bước 2.1.15.2

Cộng $- 2 x$ và $2 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Bước 2.1.15.3

Cộng $x \cdot x$ và $0$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Bước 2.1.16

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.16.1

Nhân $x$ với $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Bước 2.1.16.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Bước 2.1.17

Sắp xếp lại các số hạng.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Bước 2.1.18

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.18.1

Phân tích $x^{2} - 3 x - 4$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.18.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 4$ và tổng của chúng là $- 3$ .

$- 4, 1$

Bước 2.1.18.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x + 1) (x - 1) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Bước 2.1.18.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x + 1) (x - 1) (x - 4) (x + 1) = 0$

Bước 2.1.19

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.19.1

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

Bước 2.1.19.2

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

Bước 2.1.19.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x - 4) = 0$

Bước 2.1.19.4

Cộng $1$ và $1$ .

${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$

Bước 2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Bước 2.3

Đặt ${(x + 1)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đặt ${(x + 1)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Bước 2.3.2

Giải ${(x + 1)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Đặt $x + 1$ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 2.3.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 2.4

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 2.4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 2.5

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 2.5.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$ đúng.

$x = - 1, 1, 4$

Bước 3